Кубатурна формула на октаедрі

Abstract

У даній роботі побудовано кубатурну формулу на октаедрі, яка є точною для алгебраїчних тривимірних поліномів третього, п’ятого та сьомого степенів. При цьому точність отриманої формули визначається вибором відповідних груп вузлів інтерполяції, які розташовані на осях симетрії даного багатогранника. Додавання певної групи вузлів приводить до збільшення степеня алгебраїчної точності від третього до сьомого. Визначено оптимальні параметри отриманої формули за кількістю вузлів інтерполяції, додатними ваговими коефіцієнтами та наявністю вузлів за межами області інтегрування при різних значеннях степеня тривимірного алгебраїчного полінома. Отримано оцінку залишкового члена кубатурної формули для підінтегральних функцій, які належать класу неперервно-диференційованих функцій до порядку 4, 6, 8 відповідно в області октаедра. In this paper, we construct a cubature formula on an octahedron that is exact for algebraic three-dimensional polynomials of the third, fifth, and seventh degrees. The accuracy of the obtained formula is determined by the choice of appropriate groups of interpolation nodes, which are located on the axes of symmetry of this polyhedron. All nodes are divided into four groups: interpolation nodes, which lie on the axes of the octahedron, passing through opposite vertices of the polyhedron, located at a given distance from its center; nodes that are the points of intersection of a sphere of radius q with the axes of the octahedron, passing through the middle of the opposite edges of the polyhedron; nodes located at the points of intersection of a sphere of radius r with the axes of the octahedron, passing through the centers of gravity of opposite faces of the polyhedron; the center of the octahedron, located at the beginning of the local coordinate system. Adding a certain group of nodes leads to an increase in the degree of algebraic accuracy from the third to the seventh. The optimal parameters of the obtained formula are determined by the number of interpolation nodes, positive weights and the presence of nodes outside the integration domain at different values of the degree of three-dimensional algebraic polynomial. The resulting formula satisfies the condition of positive weights, and is the minimum number of interpolation nodes for algebraic polynomials of third degree and has two different sets of coordinates of nodes and weights for algebraic polynomials of fifth and seventh degrees.