Constructing Steklov-type cubature formulas for a finite element in the shape of a bipyramid

Abstract

This paper reports the construction of cubature formulas for a finite element in the form of a bipyramid, which have a second algebraic order of accuracy. The proposed formulas explicitly take into consideration the parameter of bipyramid deformation, which is important when using irregular grids. The cubature formulas were constructed by applying two schemes for the location of interpolation nodes along the polyhedron axes: symmetrical and asymmetrical. The intervals of change in the elongation (compression) parameter of a bipyramid semi-axis have been determined, within which interpolation nodes of the constructed formulas belong to the integration region, while the weight coefficients are positive, which warrants the stability of calculations based on these cubature formulas. If the deformation parameter of the bipyramid is equal to unity, then both cubature formulas hold for the octahedron and have a third algebraic order of accuracy. В роботі побудовані кубатурні формули для скінченного елемента в вигляді біпіраміди, які мають другий алгебраїчний порядок точності. Запропоновані формули явно враховують параметр деформації біпіраміди, що важливо при використанні нерівномірних сіток. Кубатурні формули отримані при застосуванні двох схем розташування вузлів інтерполяції на осях багатогранника: симетричної та несиметричної. Визначено проміжки зміни параметра видовження (стиснення) півосі біпіраміди, на яких вузли інтерполяції побудованих формул належать області інтегрування, а вагові коефіцієнти є додатними, що гарантує стійкість обчислень за даними кубатурними формулами. Якщо параметр деформації біпіраміди дорівнює одиниці, тоді обидві кубатурні формули є справедливими для октаедра та мають третій алгебраїчний порядок точності.